УЧИМСЯ.info

Анализ в анизотропных пространствах (проект)

Миклюков Владимир Михайлович
Независимая научная лаборатория Uchimsya, LLC
PO Box 1272, Yonkers, NY, USA, 10702
E-mail: miklyuk[at]hotmail.com

Если A и B суть реально существующие объекты, то под реальным расстоянием r(A;B) от A до B может пониматься время или число килокалорий, которые необходимо затратить чтобы дойти от A до B, количество бензина, которое необходимо затратить чтобы доехать на той или иной машине от A до B, стоимости этого бензина и т.п. Ясно, что в общем случае r(A;B) не равно r(B;A). Расстояния r(A;B) с подобными свойствами называются анизотропными. В реальном мире мы, как правило, имеем дело не с идеальными, но с анизотропными расстояниями и знание этих расстояний в практике обыденной жизни могло бы существенно изменить нашу жизнь, сделав ее более экономически мотивированной.

В частности, это могло бы существенно повлиять на энергетические траты социума так, что наши предложения можно рассматривать как проект глобальной экономии энергии.

Вопросы экономии энергии становятся особенно важными в связи с непрекращающимися авариями на атомных станциях. Авария на атомной станции, случившаяся в территориально небольшой стране, может поставить точку в истории этой страны. Таким образом, прекращение функционирования атомных станций в территориально небольших странах является лишь вопросом времени. А что взамен? Думается, что прежде всего это — существенное изменение политики в области энергетических трат.

В целом же, наличие высокоскоростных супер-ЭВМ и возможность мгновенно получать результаты вычислений в любой географической точке влекут определяющую роль математики в формирующейся цивилизации.

Один из возможных подходов к реализации данного проекта состоит в использовании уже существующих систем GPS и ГЛOНАСС и в организации среди разработчиков этих систем подструктур, занимающихся указанными вопросами.

В качестве альтернативного подхода к проблеме можно предложить нижеследующую последовательность действий:

1. приобретение супер-ЭВМ;
2. создание на ее основе систематически обновляющейся базы данных о населённых пунктах региона и о дорогах, их связывающих (с учётом анизотропности связей);
3. написание алгоритма поиска оптимального "расстояния" от пункта до пункта;
4. организации интернет-системы запросов о реальных расстояниях и высокоскоростных ответов на них, как это сделано, например, в системе maps.google.com для изотропного случая.

К примеру, появляется возможность наряду со стабильным расписанием движения общественного транспорта иметь другое, стоимость проезда согласно которому переменна и зависит от количества желающих им воспользоваться на данный момент времени. Здесь имеется множество своих специальных подзадач, связанных с согласованием маршрутов и расписаний.

Нашей главной целью является создание математической теории, обеспечивающей работу указанного выше алгоритма. В частности, мы предполагаем построение за ближайшие 2-3 года основ математического анализа в анизотропных пространствах. Простейшие примеры таких пространств доставляют пространство Минковского и пространство Финслера.

В настоящее время мы ограничиваемся формированием математического аппарата, применяемого (в изотропном случае) в вопросах конструирования сеток на поверхностях и их триангуляции. Для более развернутого подхода необходимы систематические контакты с разработчиками конкретных навигационных методов. Вместе с тем приступать к реализации проекта можно прямо сейчас (начиная с простейших систем — метро, железная дорога и т.п.).

Имеются (и весьма далеко продвинуты!) исследования в области информационной геодезии и глобальных навигационных спутниковых систем, выполненные с использованием классического анализа. Это будет непременно востребовано при разработке общих подходов.

Вместе с тем заметим, что и самые обычные дифференциальные уравнения с частными производными могут описывать в областях эвклидова пространства неизотропные процессы в случае, если их коэффициенты зависят от производных. Таким образом, методы исследования неизотропных процессов далеко не исчерпываются специальными приемами, разрабатываемыми в этих целях, но требуют привлечения всего спектра существующих математических теорий. Это тем более важно, поскольку даже переформулирование основных физических постулатов на вновь создаваемом математическом языке могло бы существенно удлинить сроки применения методов анизотропного анализа на практике.

Здесь излагается примерная программа исследований, планируемых на ближайшие годы. В конце каждой из глав формулируются задачи, продвижения в решении которых весьма способствовали бы, на шаш взгляд, дальнейшему расширению возможностей применения разрабатываемой техники в приложениях.

Владимир Михайлович Миклюков
Independent Scientific Laboratory Uchimsya, LLC
PO Box 1272, Yonkers, NY 10702, USA
Июнь 2011 г.

В.М.Миклюков. Самоучитель по математическому анализу для инженеров и программистов Наряду с традиционным кругом вопросов математического анализа и дифференциальных уравнений мы включаем в пособие ряд новых и новейших понятий, разрабатываемых в самое последнее время (понятие почти-решения уравнения с частными производными и его зоны стагнации, элементы дифференциального исчисления в анизотропных пространствах и др.). Пособие снабжено значительным количеством иллюстрирующих примеров и упражнений, способствующих лучшему усвоению материала. С целью познакомить читателя с английской математической терминологией ряд добавлений к основному тексту и указаний к упражнениям приводится на английском языке. Более подробно - смотри Абстракт.

В.М.Миклюков Геометрический анализ В 2х томах. Волгоград, 2011. Купить электронный вариант >>

Препринт, 2010

Уважаемые господа!

Это — предварительный вариант книги. Авторы будут весьма благодарны за любые замечания по тексту, отправленные на: geomanalysis@uchimsya.info. Иллюстрация заимствована из википедии.

Вышла новая книга:
В.М.Миклюков. Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и вырождающиеся квазиконформные отображения.

Монография посвящена изучению функций и отображений с обобщенными в смысле С.Л.Соболева частными производными на n-мерных (в общем случае — анизотропных) поверхностях.

Рассматриваются вопросы, связанные с изучением поведения вблизи границы гомеоморфных отображений соболевского класса областей на таких поверхностях. Для областей евклидова пространства теория соответствия границ при гомеоморфизмах класса Sob^1,n была построена Ж. Лелон-Ферран, Г.Д. Суворовым, их учениками и последователями. Сегодня мы возвращаемся к этой тематике в связи с возникающими потребностями в вопросах триангуляции поверхностей и построения сеток.

Настоящая работа вызвана желанием записать некоторые из имеющихся результатов по-новому, применительно к новым задачам, связанным с указанными приложениями. Ключевой момент нашего подхода состоит в использовании модульной техники, развитой в теории конформных и квазиконформных отображений. Наряду с этим, мы широко используем различные версии относительного расстояния и его оценки, базирующиеся на принципе длины и площади.

Из вопросов общего характера в книге обсуждается проблема аппроксимации функции в окрестности точки и, в частности, проблема существования полного дифференциала функции в точке (в том числе — граничной) и почти всюду в области, указываются признаки вложения весовых соболевских пространств в L^q и C.

Указываются применения в вопросах существования и единственности вырождающихся квазиконформных отображений с заданным распределением характеристик. Главное отличие используемого здесь подхода от других подходов состоит в выделении множества особенностей с тем, чтобы при малости его хаусдорфовой меры уметь доказывать единственность получаемого отображения.

Формулируется ряд нерешенных задач для начинающих исследователей.

Мы будем рады, если книга окажется полезной читателю. Купить электронный вариант >>